"ECUACIONES CUADRATICAS"

1.¿Qué es una ecuación cuadrática?

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es aquella en la cual el mayor exponente de la incógnita (en este caso x) es dos.
La forma general de la ecuación cuadrática es:
ax2+ bx + c = 0

Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.


2. Ecuaciones Cuadráticas Completas e Incompletas.

1."Completas":
Una ecuación cuadrática se denomina completa si sus coeficientes son no nulos.

•Completa General

Es general porque es mas de 1 osea como ejemplo: aX2=2X2 o 5X2 u otros que sean mayor a 1...
ax²+bx+c=0
ejemplo: 3x²+5x+7

•Completa Particular

Una ecuación de segundo grado es completa particular si el coeficiente a es igual a 1 (a=1) ejemplo: x² + 3x + 1 = 0


2. "Incompletas"


Una ecuación cuadrática se llama incompleta si carece del termino de primer grado, termino libre o ambos.


•Incompleta Binomial

Si el término libre es cero (aX"2" es al cuadrado) aX2 +bX +c=0 ------> C=0
ejemplo: 4X2 -5x=0

•
Incompleta Pura

¿Si el coeficiente de x es cero. por ejemplo ax2(el 2 significa al cuadrado)entonces: ax2+c = 0?
bx=0
ejemplo: 5x2-1=0


3. Formas de las Ecuaciones Cuadráticas


Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones (una a veces, que se repite con la otra). Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:


•Ecuaciones de la forma ax² + c = 0
Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

x² - 16 = 0

Pasamos -16 al segundo miembro:

x² = 16


Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada:


x = "+,-" la raiz cuadrada de 16

x1 = 4

x2 = -4


Y la ecuación ya estará terminada


•Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0

Tengamos:

x² + 9x = 0


En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:

x ( 3x + 9) = 0


Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:

3x + 9 = 0

3x = -9

x= -9 /3 = -3


Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3.

x1 = 0

x2 =-3

•
Ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0

Si tenemos la ecuación cuadrática:

x² + 5x + 6 = 0


Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos la fórmula general:

x = -b "+,-" Raiz cuadrada de b² -4ac Sobre 2a "Con esta formula se puede resolver cualquier ecuacción llase completa o incompleta.


Si sustituimos las letras por los números, siendo:


a = coeficiente de la incógnita elevada al cuadrado con su signo.
b = coeficiente de la incógnita elevada a uno.
c = coeficiente de la incógnita elevada a cero (el número libre).

x = -5 "+,-" raiz cuadrada de 25-24 sobre 2 = -5"+,-"1 sobre 2


A partir de esta fórmula obtenemos las soluciones de esta ecuación, que son: -2 y -3
Si el resultado obtenido dentro de la raíz es un número negativo, las soluciones son números imaginarios.

•
Método II

También podemos resolver ecuaciones cuadráticas del siguiente modo:
Si hallamos dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c, la expresión:

x² + bx + c


es equivalente a:

(x-m) (x - n)


siendo m y n los dos valores (o raíces) de la expresión.
En el ejemplo anterior, m = -2 y n = -3, puesto que: 2 + 3 = 5 y 2 x 3 = 6.
luego, la igualdad:

x² + 5x + 6 = 0


es equivalente a:

(x + 2) (x + 3) = 0

•
Demostración

Partiendo de la igualdad:

(x - m) (x - n) = 0


operando, obtenemos:

x² - (m + n)x + (mn) = 0


Luego, para a = 1, resulta:

b= - (m + n)

c= (mn)


m y n son dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c.



4. "Pasos para resolver una ecuación cuadrática"


1. Se despeja el término independiente


2. Se completa el trinomio cuadrado perfecto


3. Se factoriza


4. Se saca la raíz cuadrada de la ecuación


5. Se despeja la incógnita

एकुअकिओनेस काद्रतिकास कों ला फ़ॉर्मूला गेनेराल.

.- Soluciones de una ecuación cuadrática: Fórmula resolvente

El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada. Dicho procedimiento no será cubierto en este documento. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada fórmula resolvente: